Turbomachine blading with splitter blades designed by solving the inverse flow field problem

(Received 11 April 1991, revised and accepted 23 October 1991)

Abstract
The paper presents an inverse method for the turbomachine blading design in incompressible non viscous flow in order to avoid cavitation and gives a new approach of the boundary conditions to be settled in relation with bound vorticity distribution on the blades. Treating first the 2D cascade design, it shows how the blade must be generated with the given thickness distribution and must be loaded in order to obtain the desired outlet flow angle. The 3D design is analysed by two steps S2-S1 approach proposed by Wu [1]. For the meridian flow (S2 approach), the blade thickness is taken into account by the modification of metric tensor in the continuity equation. The governing one is provided by the hub to shroud equilibrium condition and the meridian stream function is choosen to define the flow field. This step leads to the determination of axisymmetrical stream sheets as well as the approximate camber surface of the blades. In the second step, blade to blade flow (S1 approach) is analyzed. The governing equation is deduced from the momentum equation which implies that the vorticity of the absolute velocity must be tangential to the stream sheet. The bound vorticity distribution must be the same one as in S2 approach and the residual flux crossing over the blade be conservative (transpiration model). These two relations constitute the boundary conditions for the S1 flow. The detection of this residual flux due to the normal component of the relative velocity on the blade surface leads to the rectification of the camber surface. The optimized design of the blading of a centifugal impeller with splitter blades is presented.

Résumé
Pour définir la géométrie des aubages, les méthodes conventionnelles prennent la distribution de vitesse sur les deux faces de l'aube comme données initiales. En appliquant cette approche, on perd le contrôle de l'épaisseur de l'aube. Pour y remédier, la présente méthode suggère une méthode inverse en représentant les aubes par une distribution de tourbillons liés et libres qui produiront la variation de moment cinétique souhaitée. Par l'introduction de la notion d'éléments associés sur les deux faces de l'aube tout en respectant la loi d'épaisseur, et par l'imposition de la conservation de flux traversant chaque paire d'éléments associés lorsque la géométrie de l'aube n'est pas encore bien définie, on aboutit à un problème de champ bien posé. Le calcul itératif pour rectifier le squelette de l'aube afin d'annuler le flux de pénétration conduit finalement à la définition géométrique de l'aube. L'écoulement 3D est analysé en deux étapes par l'approche "S2" - "S1". En première étape, le nombre d'aubes est supposé infini, la distribution tourbillonnaire devient axi-symétrique, l'écoulement est analysé dans le plan méridien. L'effet d'épaisseur des aubes produisant la striction de l'écoulement est pris en compte par la modification du tenseur métrique dans l'équation de continuité. La fonction de courant étant utilisée pour définir le champ, la conservation de la masse est vérifiée automatiquement. L'équation la régissant est déduite de la relation entre la composante azimutale du rotationnel et la vitesse méridienne. Cette composante du rotationnel est déduite de la condition d'équilibre transversale moyeu-carter. Cette étape conduit à la détermination des surfaces de courant axi-symétriques et de la géométrie approchée du squelette. En seconde étape, le nombre fini d'aubes est pris en compte, le problème inverse correspondant à l'écoulement aube à aube confiné dans une nappe de courant est analysé. L'équation de mouvement implique que les tourbillons libres lâchés par l'étage précédent doivent être tangentiels à la surface de courant. L'équation régissant la fonction de courant de l'écoulement aube à aube est déduite de cette condition. Au commencement du calcul, les deux faces de l'aube sont créées à partir du squelette d'aube déterminé à la première étape en respectant la loi d'épaisseur imposée. La répartition des tourbillons liés sur la section d'aube considérée et la conservation de flux traversant le contour présumé de l'aube vont définir les conditions limites du problème inverse. La rectification itérative de la géométrie de l'aube est effectuée en vue d'éliminer complétement le flux de pénétration. Le traçage optimisé d'une roue de compresseur centrifuge munie d'aubes intercalaires ayant un bord d'attaque adapté est présenté comme exemple d'application.