fractal niirrors: on paradoxical perfectly reflecting interferential mirror possibility

(Received 15 February 1990, revised 2 November 1992, accepted 3 November 1992)

Abstract
The purpose of the paper is to study a new type of non-periodic interferential mirrors, yet which are "self-similar". These mirrors are built according to the pattern of the Cantor discontinuum. Interferences within "homothetical" stratified medium, give these multilayered mirrors paradoxical reflectivity properties. This is due to two simultaneous invariances: the scaling one which is connected with what we call the "harmonious" condition and the translational one which is connected with a formal Bragg condition. In particular, an intimate connection between irrational algebraic Pisot-Vijayaraghavan numbers and an optimum reflectivity condition is uncovered. Finally the perspective of "nonharmonic" filters, polarizers and amplifiers is proposed as well as broad bandwidth mirrors for the whole spectrum of the visible domain and polychromator mirrors for visible and neutrons.

Résumé
Cet article a pour objectif d'étudier un nouveau type de miroirs interférentiels non périodiques, mais "autosimilaires". Ces miroirs sont construits selon le modèle du discontinuum de Cantor. Les interférences au sein d'une multicouche à "homothétie interne" dotent ces miroirs de propriétés paradoxicales. Ceci est dû à la simultanéïté de deux invariances: l'invariance par homothétie qui s'exprime dans ce que nous appelons la condition "harmonieuse" et l'invariance par translation qui rend possible une condition de Bragg formelle. En particulier, nous mettons en évidence un lien intime entre les nombres algébriques irrationnels de Pisot-Vijayaraghavan et une condition d'optimisation de la réflectivité. Enfin, la possibilité de filtres, de polariseurs et d'amplificateurs "non-harmoniques" est proposée pour la totalité du spectre visible ainsi que des miroirs polychromateurs pour les neutrons et le visible et des miroirs diélectriques avec des bandes de réflectivité aussi larges qu'on le désire.