Amélioration des performances d'une implantation parallélovectorielle du gradient conjugué par extension du schéma de stockage matriciel

(Reçu le 17 mars 1992, accepté le 18 septembre 1992)

Abstract
Electromagnetic field computation with the Finite Element (FE) method implies solving of large linear systems of equations. Performances and memory capacities of today computers allow to achieve three-dimensional FE discretizations of electromagnetic problems, but the number of unknowns grows high. So, to improve time to the numerical solution of the linear system(s) thus arising, the use of parallel and/or vector computers has to be envisaged. In this paper, the main constitutive steps of the Pre-conditioned Conjugate Gradient algorithm (PCG) are analysed. After a short recall of our previous work concerning their improvement by use of vector and parallel computations, we show some speedup limitations due to the sparse row-wise matrix storage scheme employed. Then, an extension of this matrix representation is proposed, leading to introduce redundant storage of non-zero coefficients. In spite of the "memory waste" thus implied, it is shown how this extension can be successfully employed to increase the speedup due to parallelism and vectorization on the whole algorithm, and in particular to derive a parallel preconditioner.

Résumé
La résolution par la méthode des éléments finis des équations de l'électromagnétisme conduit à résoudre de grands systèmes d'équations linéaires. Les capacités mémoire et les performances actuelles des systèmes informatiques permettent de traiter les problèmes électromagnétiques par discrétisation tridimensionnelle, mais alors le nombre d'inconnues devient très élevé. Ainsi, la résolution en un temps raisonnable des équations linéaires associées à de telles discrétisations conduit à envisager l'emploi d'ordinateurs à architecture parallèle. Dans cet article, les différentes étapes constitutives de l'algorithme du gradient conjugué préconditionné (GCP) sont analysées. Après un court rappel de nos travaux antérieurs concemant leur amélioration par utilisation de traitements parallèles et vectoriels, nous montrons les limitations du gain de temps dues au mode de stockage matriciel utilisé : la représentation creuse dite "Morse". Nous proposons alors une extension de ce mode de stockage, conduisant à l'introduction de redondance au niveau du rangement des termes matriciels en mémoire. Malgré le "gaspillage" mémoire ainsi occasionné, il apparait que cette extension peut être mise à profit pour augmenter sensiblement les gains par parallélisation et vectorisation de l'ensemble de l'algorithme du gradient conjugué, et notamment pour la réalisation d'un pré-conditionnement parallèle.