Caractérisation fractale de la rugosité tridimensionnelle d'une surface

(Reçu le 9 novembre 1993, révisé le 29 juillet 1994, accepté le 14 septembre 1994)

Abstract
This paper reinvestigates some ideas concerning the fractal-based characterization of surface roughness. In a first stage we recall the relations between notions connected with the non differentiability of certain functions : Lipschitz-Hölder exponent, fractal dimension and spectral exponent. We show that the existence of a Lipschitz-Hölder exponent for each point of the surface is a sufficient condition to have a well-defined fractal dimension. This property does not imply that the underlying random function is non stationary, or some global self affinity property. However, around each point x, the existence of a Lipschitz-Hölder exponent H implies that locally the function is a statistical self affine function, that is to say a function for which var var in a disk, the radius of which is characteristic of the surface. All these conclusions are supported by a computation based upon the use of the Weierstrass-Mandelbrot function and the Weierstrass one. Some 3D simulations of fractal surfaces are also presented on the basis of an original 2D extension of the Weierstrass function.

Résumé
Cet article fait le point sur un certain nombre d'idées concernant la caractérisation fractale de la rugosité des surfaces. On commence par rappeler les liens entre différentes notions liées au caractère non dérivable de certaines fonctions : exposant de Lipschitz-Hölder, dimension fractale et exposant spectral. On montre que l'existence d'un exposant de Lipschitz-Hölder en chaque point est une condition suffisante pour affirmer la nature fractale d'un objet. Cette propriéte n'implique ni la non-stationnarité du processus aléatoire sous-jacent, ni la propriété d'autoaffinité statistique. Cependant, à condition de ne pas sortir d'un disque dont le rayon est caractéristique de la surface considérée, l'existence d'un exposant de Lipschitz-Hölder implique que localement la fonction est une fonction statistiquement autoaffine, c'est-à-dire pour laquelle var var . Les résultats théoriques sont illustrés à l'aide des fonctions de Weierstrass-Mandelbrot et de Weierstrass. On présente aussi une extension 2D de la fonction de Weierstrass permettant de générer des surfaces fractales. L'ensemble des résultats obtenus éclaire d'un jour nouveau la manière dont doit être abordée l'analyse fractale de la rugosité.